Sari la conținut
Nivelo
Temă activă: luminoasăÎncearcă gratuit
← Toate cursurile

Matematică · Clasa a XII-a

Bacalaureat · matematică M_tehnologic

Pregătire pentru proba de matematică M_tehnologic de la bacalaureat (filiera tehnologică, toate profilurile și calificările): competențele programei profilului, cu exerciții în spiritul modelului oficial și un domeniu de strategie.

Despre acest curs

Idei care capătă sens.

Proba de matematică M_tehnologic are 50 de competențe și se dă la filiera tehnologică, la toate profilurile și calificările. E programa cea mai restrânsă dintre cele trei de nivel real: nu se cer numere complexe, ecuații trigonometrice, binomul lui Newton sau descompunerea polinoamelor. Competențele sunt organizate după subiectul în care se cer, cu exerciții în spiritul modelului oficial 2026: Subiectul I: numere, progresii, funcții (numere reale, logaritmi, progresii aritmetice, progresii geometrice, funcția de gradul i și compunerea funcțiilor, funcția de gradul al ii-lea, proprietăți); Subiectul I: ecuații, numărare, probabilități (ecuații cu radicali și cu modul, ecuații exponențiale și logaritmice, sisteme simetrice și ecuații cu parametru, permutări, aranjamente, combinări, probabilități, procente, dobânzi, tva, statistică); Subiectul I: vectori, geometrie analitică, trigonometrie (vectori, vectori în coordonate și produsul scalar, dreapta în plan, funcții trigonometrice, triunghiul, rezolvarea triunghiului și distanțe); Subiectul II: matrice, determinanți, sisteme (matrice, determinanți de ordin 2 și 3, matrice inversabile și ecuații matriceale, puteri de matrice și inducție, sisteme liniare, determinanți în geometrie); Subiectul II: legi de compoziție, structuri, polinoame (legi de compoziție, legi de compoziție, grupuri, subgrupuri, morfisme, inele și corpuri; zₙ și zₚ, polinoame, rădăcini și relațiile lui viète); Subiectul III: analiză, derivate (limite de funcții și cazurile exceptate, asimptote, continuitate, darboux, semnul funcției, calculul derivatelor, tangenta la grafic și f'(a), monotonie și puncte de extrem, convexitate, concavitate, inflexiune, inegalități și numărul soluțiilor, reprezentarea grafică și conicele); Subiectul III: integrale (primitive, integrala definită, integrarea prin părți, schimbarea de variabilă, integrale de funcții raționale, arii și volume). Un domeniu aparte e strategia: structura probei, redactarea după barem, timpul, greșelile care costă puncte. Conținutul e derivat din cursul M_mate-info, păstrând strict capitolele cerute de programa profilului. Programa de referință: anexa 2 la OMEN 4430/2014.

Programa cursului

Ce învață copilul, lecție cu lecție.

50 de lecții în 8 domenii, aproximativ 8 ore de lucru. Fiecare lecție are explicații, exemple rezolvate și exerciții cu indicii.

1. Subiectul I: numere, progresii, funcții7 lecții
  1. Numere reale: modul, parte întreagă, radicali, puteriCalculele scurte de la I.1: radicali, raționalizări, modul, parte întreagă, exponenți raționali.
  2. Logaritmi: calcule și proprietățiDefiniția, proprietățile, schimbarea bazei; ce înseamnă 2log₅x.
  3. Progresii aritmeticeTermen general, condiția de progresie, suma; itemul I.1 din model.
  4. Progresii geometriceTermen general, condiția b² = ac, suma; șiruri recurente.
  5. Funcția de gradul I și compunerea funcțiilorf(x) = ax + b: grafic, semn, monotonie; f∘g; itemul I.2 din model.
  6. Funcția de gradul al II-leaVârf, minim/maxim, Viète, semn, dreaptă–parabolă, imagine.
  7. Proprietăți: monotonie, bijectivitate, inversă, exponențială și logaritmicăInjectivitate, surjectivitate, inversa; aˣ și logₐ x după bază; comparări.
2. Subiectul I: ecuații, numărare, probabilități6 lecții
  1. Ecuații cu radicali și cu modulCondiții de existență, ridicare la pătrat, verificare; modulul pe cazuri.
  2. Ecuații exponențiale și logaritmiceAceeași bază, substituție, condiții de existență; itemul I.3 din model.
  3. Sisteme simetrice și ecuații cu parametrux + y = s, xy = p; discriminant, semnul rădăcinilor, rădăcină dată.
  4. Permutări, aranjamente, combinărin!, Aₙᵏ, Cₙᵏ, funcții, submulțimi; itemul I.4 din model.
  5. ProbabilitățiCazuri favorabile pe cazuri posibile; numerele de două cifre; alegeri dintr-o mulțime.
  6. Procente, dobânzi, TVA, statisticăCreșteri și reduceri, dobânda simplă, TVA, media; itemul I.4 din modelul pedagogic.
3. Subiectul I: vectori, geometrie analitică, trigonometrie6 lecții
  1. Vectori: operații, coliniaritate, descompunereRegula triunghiului și a paralelogramului, scalari, coliniaritate, descompunere.
  2. Vectori în coordonate și produsul scalarVectorul de poziție, mijloc, centrul de greutate, produs scalar; itemul I.5 din model.
  3. Dreapta în plan: ecuații, paralelism, perpendicularitate, distanțePanta, ecuațiile dreptei, condițiile de paralelism și perpendicularitate, distanța, triunghiuri în coordonate.
  4. Funcții trigonometrice: valori și reducerea la primul cadranValorile remarcabile, semnele pe cadrane, formulele de reducere, identitatea fundamentală.
  5. Triunghiul: teorema sinusurilor, a cosinusului, arii, R și rFormulele triunghiului oarecare și dreptunghic; itemul I.6 din modelul șt-nat.
  6. Rezolvarea triunghiului și distanțe: itemul I.6Triunghiul dreptunghic cu unghi dat, bisectoarea, distanța de la punct la dreaptă; modelul M_tehnologic.
4. Subiectul II: matrice, determinanți, sisteme6 lecții
  1. Matrice: operațiiAdunare, scalar, produs, transpusă, I₂, O₂; A² pentru matrice 2×2.
  2. Determinanți de ordin 2 și 3Formula de ordin 2, Sarrus, proprietăți; det A(a) din model.
  3. Matrice inversabile și ecuații matricealeCondiția det A ≠ 0, A⁻¹ = A*/det A, ecuația AX = B; itemul II.1.b din model.
  4. Puteri de matrice și inducțieAⁿ prin inducție, Cayley–Hamilton pentru ordin 2, A(x)·A(y) = A(x + y).
  5. Sisteme liniare: Cramer și determinantul sistemuluiDeterminantul sistemului, formulele lui Cramer, soluție unică sau nu.
  6. Determinanți în geometrieEcuația dreptei prin două puncte, coliniaritate, aria triunghiului.
5. Subiectul II: legi de compoziție, structuri, polinoame6 lecții
  1. Legi de compoziție: calcule și ecuațiiVerificări numerice, x∘x, x∘a = x, forma (x − a)(y − a) + a; itemul II.2 din model.
  2. Legi de compoziție: proprietăți și parte stabilăAsociativitate, comutativitate, element neutru, simetrizabile, parte stabilă.
  3. Grupuri, subgrupuri, morfismeAxiomele grupului, exemple, ordinul unui element, subgrup, morfism, izomorfism.
  4. Inele și corpuri; Zₙ și ZₚInele numerice, Zₙ, divizori ai lui zero, elemente inversabile, corpul Zₚ, ecuații în Zₙ.
  5. Polinoame: împărțire, Horner, rest, BézoutTeorema împărțirii cu rest, împărțirea la X − a, schema lui Horner, restul la un polinom de gradul 2.
  6. Rădăcini și relațiile lui VièteViète pentru gradul 3, sume de pătrate, rădăcini duble, ecuații binome și bipătrate.
6. Subiectul III: analiză, derivate9 lecții
  1. Limite de funcții și cazurile exceptate0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 1^∞, limitele fundamentale, l'Hospital.
  2. AsimptoteVerticale, orizontale, oblice; funcțiile raționale, eˣ, ln x.
  3. Continuitate, Darboux, semnul funcțieiContinuitatea în punct și pe ramuri, Darboux, existența soluțiilor, semnul pe intervale.
  4. Calculul derivatelorDerivate uzuale, reguli de derivare, derivata a doua; cerința a) din model.
  5. Tangenta la grafic și f'(a)Ecuația tangentei, tangenta paralelă cu Ox sau cu o dreaptă; cerința b) din model.
  6. Monotonie și puncte de extremSemnul lui f', tabelul de variație, extreme locale și valori extreme; modelul.
  7. Convexitate, concavitate, inflexiuneSemnul lui f'', puncte de inflexiune, poziția față de tangentă.
  8. Inegalități și numărul soluțiilor: cerința c)Inegalități prin extrem, unicitatea soluției prin monotonie și limite; cerința III.1.c din model.
  9. Reprezentarea grafică și coniceleTabelul de variație complet, lectura numărului de soluții, cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă.
7. Subiectul III: integrale6 lecții
  1. PrimitivePrimitive uzuale, liniaritate, primitiva cu o condiție dată.
  2. Integrala definită: Leibniz–Newton și proprietățiFormula, liniaritate, aditivitate, inversarea limitelor; cerința a) din model.
  3. Integrarea prin părțiFormula, alegerea lui u și v', integralele clasice.
  4. Schimbarea de variabilăForma ∫ f(u)·u', derivata radicalului, f'/f → ln; cerința b) din model.
  5. Integrale de funcții raționaleFracții simple, 1/(x² ± a²), 1/(ax + b); cerința b) din modelul tehnologic.
  6. Arii și volumeAria subgraficului, aria dintre două grafice, volumul corpului de rotație.
8. Strategia de examen4 lecții
  1. Structura probei și punctajulTrei subiecte a câte 30 p, 10 din oficiu, trei ore, 5 p pe cerință.
  2. Redactarea: „arătați că” și baremul parțialCe se punctează, condițiile de existență, „care convine”, punctajele intermediare.
  3. Timpul și ordineaCât timp pe subiect, ordinea cerințelor, când sari peste c).
  4. Greșelile care costă puncteLista de verificare: domeniu, semne, modul, l'Hospital, constante, limite, determinanți, Viète.

Un parcurs pe care îl construim pas cu pas

  • Înțelege

    Explicații și exemple rezolvate pentru ideile cursului.

  • Exersează

    Încearcă singur și cere un indiciu când ai nevoie.

  • Consolidează

    Revino la ce merită exersat și urmărește ce ai înțeles.

Cursuri înrudite