Sari la conținut
Nivelo
Temă activă: luminoasăÎncearcă gratuit
← Toate cursurile

Matematică · Clasa a XI-a

Matematică · clasa a XI-a

Algebra liniară — permutări, matrice, determinanți, sisteme — și analiza: limite, continuitate, derivate, reprezentarea grafică. Programa 1, profil real, matematică-informatică.

Despre acest curs

Idei care capătă sens.

Cele 84 de competențe din programa 1 de matematică pentru clasa a XI-a (filiera teoretică, profil real, matematică-informatică, OMEC 3252/2006). Algebra liniară urcă de la permutări la metoda lui Gauss, cu matricele inversabile ca unealtă între determinanți și sisteme. Analiza pornește de la dreapta reală și vecinătăți — programa cere să nu se folosească definiția cu epsilon —, trece prin limite de șiruri și de funcții, cu nedeterminările împărțite după fel, prin asimptote, continuitate și derivate, iar teoremele lui Fermat, Rolle, Lagrange și l'Hospital fac puntea spre studiul funcțiilor și reprezentarea grafică. Conicele încheie anul.

Programa cursului

Ce învață copilul, lecție cu lecție.

84 de lecții în 15 domenii, aproximativ 13 ore de lucru. Fiecare lecție are explicații, exemple rezolvate și exerciții cu indicii.

1. Permutări4 lecții
  1. Ce e o permutareO bijecție a mulțimii {1, …, n}; scrierea pe două linii; n! permutări.
  2. Compunerea permutărilor și inversaSe citește de la dreapta la stânga; permutarea identică; inversa.
  3. Transpoziții și puteriSchimbă două elemente; orice permutare e produs de transpoziții; ordinul.
  4. Inversiuni și semnulPerechile în ordine inversă; permutări pare și impare; semnul produsului.
2. Matrice6 lecții
  1. Matricea și felurile eiTabel cu m linii și n coloane; pătratică, linie, coloană, nulă, unitate, transpusă.
  2. Adunarea și înmulțirea cu scalarElement cu element; proprietăți.
  3. Înmulțirea matricelorLinie ori coloană; când se poate; dimensiunea rezultatului.
  4. Proprietățile înmulțiriiAsociativă, distributivă, cu Iₙ; nu e comutativă; AB = 0 fără A = 0 sau B = 0.
  5. Puterile unei matriceAⁿ prin inducție; binomul lui Newton pentru matrice care comută.
  6. Tabele de date ca matriceUn proces economic sau tehnic scris matriceal; produsul ca total.
3. Determinanți6 lecții
  1. Determinanți de ordinul 2 și 3Diagonalele; regula lui Sarrus și regula triunghiului.
  2. Dezvoltarea după o linie sau coloanăMinori, complemenți algebrici, semnele în tablă de șah.
  3. Proprietățile determinanțilorTranspusa, două linii egale, factor comun, adunarea unei linii înmulțite.
  4. Determinanți de ordinul 4Se fac zerouri cu proprietățile, apoi se dezvoltă.
  5. det(AB) și determinanții triunghiularidet(AB) = det A · det B; det(kA) = kⁿ det A; produsul diagonalei.
  6. Aplicații geometriceEcuația dreptei prin două puncte, aria triunghiului, coliniaritatea, cu determinanți.
4. Matrice inversabile și ecuații matriceale5 lecții
  1. Când e o matrice inversabilăA⁻¹ există ⇔ det A ≠ 0; unicitatea.
  2. Inversa prin adjunctăA⁻¹ = (1/det A)·A*, cu A* transpusa complemenților algebrici.
  3. Inversa matricei de ordinul 2Se schimbă diagonala principală, se schimbă semnul celeilalte, se împarte la det.
  4. Proprietățile inversei(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹; (A⁻¹)⁻¹ = A; det A⁻¹ = 1/det A.
  5. Ecuații matricealeAX = B dă X = A⁻¹B; XA = B dă X = BA⁻¹; ordinea contează.
5. Sisteme de ecuații liniare8 lecții
  1. Sistemul ca ecuație matricealăAX = B; matricea sistemului și matricea extinsă.
  2. Sisteme de tip Cramerdet A ≠ 0: soluție unică, xᵢ = detᵢ / det A.
  3. Rangul unei matriceOrdinul celui mai mare minor nenul; cum se calculează.
  4. Compatibilitatea: Kronecker-CapelliCompatibil ⇔ rang A = rang Ā.
  5. Rouché și minorii caracteristiciMinorul principal; sistemul e compatibil ⇔ toți minorii caracteristici sunt nuli.
  6. Rezolvarea sistemelor compatibil nedeterminateNecunoscute principale și secundare; soluția cu parametri.
  7. Metoda lui GaussTransformări elementare; forma eșalon; substituție înapoi.
  8. Sisteme omogeneTotdeauna compatibile; soluții nebanale ⇔ det A = 0.
6. Dreapta reală și funcțiile de studiat4 lecții
  1. Vecinătăți și puncte de acumulareUn interval deschis în jurul punctului; mărginire; sup și inf.
  2. Dreapta încheiată și operațiile cu ∞+∞ și −∞; vecinătățile lor; ce se poate calcula și ce nu.
  3. Funcțiile de studiat, recapitulateDomeniu, imagine, monotonie, grafic: polinomiale, raționale, putere, radical, exp, log, trigonometrice.
  4. Majorări și minorări utile|sin x| ≤ 1, [x] ≤ x < [x] + 1, 2ⁿ > n, inegalitatea mediilor.
7. Limite de șiruri7 lecții
  1. Limita unui șir, cu vecinătățiÎn afara oricărei vecinătăți rămân finit de mulți termeni; limite ±∞; unicitatea.
  2. Convergent, mărginit, monotonConvergent ⇒ mărginit; monoton și mărginit ⇒ convergent (Weierstrass).
  3. Operații cu limite de șiruriSumă, produs, cât, putere; când apar nedeterminări.
  4. Limitele fundamentaleaⁿ după a; nᵃ; polinom pe polinom; radicali.
  5. Numărul e(1 + 1/n)ⁿ → e; (1 + uₙ)^(1/uₙ) → e când uₙ → 0; nedeterminarea 1^∞.
  6. Criterii: cleștele și raportulÎncadrarea între două șiruri cu aceeași limită; criteriul raportului.
  7. Limite de sumeSume calculabile (1 + … + n, progresii, telescopice), apoi limita.
8. Limite de funcții8 lecții
  1. Limita unei funcții într-un punctCu vecinătăți și cu șiruri; se poate calcula și unde f nu e definită.
  2. Limite lateraleLa stânga, la dreapta; limita există ⇔ sunt egale.
  3. Limitele funcțiilor elementareLa capetele domeniului: polinoame, exp, log, radical, trigonometrice.
  4. Operații cu limite de funcțiiSumă, produs, cât, compunere; unde apar nedeterminările.
  5. Nedeterminarea 0/0Descompunere și simplificare; amplificarea cu conjugata.
  6. Nedeterminările ∞/∞ și ∞ − ∞Factor forțat; gradul; conjugata la radicali.
  7. Limitele remarcabilesin x/x, tg x/x, arcsin x/x, (1 + x)^(1/x), ln(1 + x)/x, (aˣ − 1)/x.
  8. Nedeterminările cu puteri1^∞, 0·∞, ∞^0, 0^0: aducerea la forme cunoscute.
9. Asimptote3 lecții
  1. Asimptote orizontaley = l, dacă limita la ±∞ e finită.
  2. Asimptote verticalex = a, dacă o limită laterală în a e infinită; unde se caută.
  3. Asimptote oblicey = mx + n, cu m = lim f(x)/x, n = lim (f(x) − mx); nu coexistă cu orizontala la același capăt.
10. Continuitate6 lecții
  1. Continuitatea într-un punctLimita există și e egală cu valoarea; discontinuități de speța I și a II-a.
  2. Funcții continue pe domeniu; operațiiFuncțiile elementare sunt continue; sume, produse, câturi, compuneri.
  3. Continuitatea funcțiilor pe ramuriSe egalează limitele laterale cu valoarea; determinarea parametrilor.
  4. Semnul unei funcții continueFără zerouri pe un interval, păstrează semnul; tabelul de semn.
  5. Proprietatea lui DarbouxO funcție continuă ia toate valorile intermediare.
  6. Existența soluțiilor unei ecuațiif(a)·f(b) < 0 ⇒ o soluție în (a, b); localizarea.
11. Derivata7 lecții
  1. Derivata într-un punct și tangentaLimita raportului (f(x) − f(x₀))/(x − x₀); panta tangentei.
  2. Ecuația tangenteiy − f(x₀) = f'(x₀)(x − x₀).
  3. Derivabilitate și continuitateDerivabil ⇒ continuu, nu invers; derivate laterale; puncte unghiulare și de întoarcere.
  4. Tabelul derivatelorxⁿ, √x, 1/x, eˣ, aˣ, ln x, sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg.
  5. Derivata sumei, produsului, câtului(fg)' = f'g + fg'; (f/g)' = (f'g − fg')/g².
  6. Derivata funcției compuse(g ∘ f)' = g'(f)·f'; regula lanțului.
  7. Derivata a douaDerivata derivatei; calcul pentru funcțiile studiate.
12. Teoremele funcțiilor derivabile6 lecții
  1. Teorema lui FermatÎntr-un punct de extrem interior, derivata e 0; reciproca e falsă.
  2. Teorema lui Rollef(a) = f(b) ⇒ există c cu f'(c) = 0; între două rădăcini ale lui f e una a lui f'.
  3. Teorema lui Lagrangef(b) − f(a) = f'(c)(b − a); tangenta paralelă cu coarda.
  4. Consecințele teoremei lui Lagrangef' = 0 ⇒ constantă; semnul lui f' dă monotonia; derivata într-un punct prin limita derivatei.
  5. Regula lui l'Hospital pentru 0/0Limita raportului derivatelor; condițiile.
  6. l'Hospital pentru ∞/∞ și reducerile∞/∞ direct; 0·∞ și ∞ − ∞ aduse la cât.
13. Studiul funcțiilor cu derivate5 lecții
  1. Monotonia din semnul derivateif' > 0 crește, f' < 0 descrește; tabelul de semn al lui f'.
  2. Punctele de extremUnde f' își schimbă semnul; maxim și minim local; valorile extreme.
  3. Convexitatea din derivata a douaf'' > 0 convexă, f'' < 0 concavă; puncte de inflexiune.
  4. Inegalități demonstrate cu derivateDiferența ca funcție; monotonia arată semnul.
  5. Tabelul de variațieDomeniu, limite, f', f'', în același tabel.
14. Reprezentarea grafică5 lecții
  1. Etapele reprezentării graficeDomeniu, intersecții, limite și asimptote, f', f'', tabel, desen.
  2. Graficul unei funcții raționaleUn exemplu dus până la capăt, cu asimptote oblice.
  3. Grafice cu radical, exponențială, logaritmDomeniul restrâns; asimptote; puncte de întoarcere.
  4. Numărul soluțiilor unei ecuații, pe graficf(x) = m: câte intersecții cu dreapta y = m; discuție după m.
  5. Rezolvarea grafică a ecuațiilorIntersecția a două grafice; aproximarea soluțiilor.
15. Conice4 lecții
  1. Cercul(x − a)² + (y − b)² = r²; ecuația generală; tangenta într-un punct.
  2. Elipsax²/a² + y²/b² = 1; focare, vârfuri, excentricitate.
  3. Hiperbolax²/a² − y²/b² = 1; focare, asimptote.
  4. Parabolay² = 2px; focar, directoare; legătura cu graficul funcției de gradul al II-lea.

Un parcurs pe care îl construim pas cu pas

  • Înțelege

    Explicații și exemple rezolvate pentru ideile cursului.

  • Exersează

    Încearcă singur și cere un indiciu când ai nevoie.

  • Consolidează

    Revino la ce merită exersat și urmărește ce ai înțeles.

Cursuri înrudite