Sari la conținut
Nivelo
Temă activă: luminoasăÎncearcă gratuit
← Toate cursurile

Matematică · Clasa a IX-a

Matematică · clasa a IX-a

Primul an de liceu: logică și inducție, progresii, funcțiile de gradul I și al II-lea cu graficele lor, vectori și trigonometrie — programa de 4 ore, profil real.

Despre acest curs

Idei care capătă sens.

Cele 104 competențe din programa de matematică pentru clasa a IX-a, trunchi comun și curriculum diferențiat (4 ore, OMECI 5099/2009). Anul în care se demonstrează, nu doar se calculează: logica și inducția stau la început, ca unealtă pentru tot restul. Progresiile aritmetice și geometrice au câte un domeniu, funcția de gradul al II-lea are două — ecuația și graficul, apoi semnul și pozițiile —, vectorii au unul de calcul și unul de geometrie, iar trigonometria urcă în patru trepte: cercul, formulele, produsul scalar, triunghiul oarecare. Fiecare rând al programei de 4 ore e acoperit.

Programa cursului

Ce învață copilul, lecție cu lecție.

104 lecții în 18 domenii, aproximativ 14 ore de lucru. Fiecare lecție are explicații, exemple rezolvate și exerciții cu indicii.

1. Numere reale: ordonare, modul, parte întreagă6 lecții
  1. Ordonarea numerelor realeComparare, densitate, ce e între două numere.
  2. Modulul unui număr realDistanța până la zero; |x| = x sau −x.
  3. Ecuații și inecuații cu modul|x − a| = r, |x − a| < r, citite ca distanțe.
  4. Aproximări prin lipsă și prin adaosZecimale, rotunjiri, erori; calculatorul.
  5. Partea întreagă[x]: cel mai mare întreg ≤ x — și la negative.
  6. Partea fracționară{x} = x − [x], totdeauna în [0, 1).
2. Intervale4 lecții
  1. Intervalele și scrierea lorDeschis, închis, nemărginit; ce înseamnă paranteza.
  2. Intervalele pe axăDesenul: punct plin, punct gol, săgeată.
  3. Intersecția și reuniunea intervalelorCe e comun, ce e în cel puțin unul.
  4. Diferența și complementaraA \ B și ℝ \ A, pe axă.
3. Logică7 lecții
  1. Propoziția și valoarea ei de adevărCe e propoziție și ce nu e.
  2. Negația, conjuncția, disjuncțianon p, p și q, p sau q — tabelele de adevăr.
  3. ImplicațiaDacă p, atunci q; când e falsă; reciproca.
  4. Echivalența și condițiile necesare și suficientep ⇔ q: amândouă implicațiile.
  5. Regulile lui De Morgan și mulțimileNegarea lui „și” e „sau”; complementara reuniunii.
  6. Predicate și cuantificatorip(x); pentru orice, există; negarea lor.
  7. Reducerea la absurdPresupui contrariul și ajungi la contradicție.
4. Inducție și numărare6 lecții
  1. Principiul inducției matematiceVerificarea și pasul; de ce ajung amândouă.
  2. Inducția la sume1 + 2 + … + n, pătratele, cuburile.
  3. Inducția la divizibilitate și inegalitățin³ − n se divide cu 6; 2ⁿ > n.
  4. Regula sumei și regula produsuluiOri… ori: aduni; și apoi: înmulțești.
  5. Numărarea submulțimilor și prin complementară2ⁿ submulțimi; numeri ce nu vrei și scazi.
  6. Principiul includerii și excluderii|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
5. Șiruri4 lecții
  1. Ce e un șir și cum se dăTermen general, recurență, descriere.
  2. Șiruri monotoneaₙ₊₁ − aₙ sau raportul; crescător, descrescător.
  3. Șiruri mărginiteExistă m și M între care stau toți termenii.
  4. Termenul general prin raționament inductivDin primele valori, o formulă; apoi se verifică.
6. Progresii aritmetice4 lecții
  1. Progresia aritmetică și rațiaFiecare termen e cel dinainte plus același număr.
  2. Termenul generalaₙ = a₁ + (n − 1)r; și din orice alt termen.
  3. Suma primilor n termeniSₙ = (a₁ + aₙ)·n/2.
  4. Trei sau mai multe numere în progresie aritmeticăFiecare e media aritmetică a vecinilor.
7. Progresii geometrice4 lecții
  1. Progresia geometrică și rațiaFiecare termen e cel dinainte înmulțit cu același număr.
  2. Termenul generalbₙ = b₁·qⁿ⁻¹.
  3. Suma primilor n termeniSₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1), q ≠ 1.
  4. Trei sau mai multe numere în progresie geometricăPătratul celui din mijloc e produsul vecinilor.
8. Reperul cartezian și noțiunea de funcție7 lecții
  1. Reperul cartezian și produsul cartezianPerechi ordonate, cadrane, drepte x = m și y = m.
  2. Ce e o funcțieFiecărui element din domeniu, una și numai una.
  3. Cum se descrie o funcțieDiagramă, tabel, formulă, grafic; funcții pe ramuri.
  4. Egalitatea a două funcțiiAcelași domeniu, același codomeniu, aceleași valori.
  5. Imaginea și preimaginea unei mulțimif(A) și f⁻¹(B), fără să existe inversa.
  6. Graficul unei funcțiiMulțimea perechilor (x, f(x)); testul verticalei.
  7. Restricții ale unei funcțiiAceeași regulă, domeniu mai mic.
9. Lecturi grafice și proprietăți ale funcțiilor8 lecții
  1. Intersecția graficului cu axeleCu Oy: x = 0; cu Ox: f(x) = 0.
  2. Ecuații rezolvate pe graficf(x) = g(x): abscisele punctelor comune.
  3. Inecuații citite pe graficf(x) < g(x): unde un grafic e sub celălalt.
  4. Funcții mărginiteGraficul stă între două drepte orizontale.
  5. Monotonia citită pe graficUrcă sau coboară, pe intervale.
  6. Paritate, imparitate, simetrie față de x = mf(−x) = f(x); f(−x) = −f(x); f(m − t) = f(m + t).
  7. Periodicitatef(x + T) = f(x); graficul se repetă.
  8. Compunerea funcțiilor(g ∘ f)(x) = g(f(x)); ordinea contează.
10. Funcția de gradul I7 lecții
  1. Funcția de gradul I și graficul eif(x) = ax + b, a ≠ 0; o dreaptă, din două puncte.
  2. Intersecțiile cu axele și ecuația f(x) = 0(0, b) și (−b/a, 0).
  3. Monotonia funcției de gradul ISemnul lui a; raportul diferențelor.
  4. Semnul funcției de gradul ITabelul de semn: semn contrar lui a, zero, semnul lui a.
  5. Inecuații de gradul Iax + b ≤ 0 pe ℝ și pe un interval dat.
  6. Două drepte și sistemele liniareConcurente, paralele, confundate; câte soluții.
  7. Sisteme de inecuații de gradul ISe rezolvă fiecare, se intersectează soluțiile.
11. Funcția de gradul al II-lea: ecuația și graficul7 lecții
  1. Ecuația de gradul al II-lea și discriminantuldelta = b² − 4ac; câte soluții și care.
  2. Relațiile lui Viètex₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a; expresii simetrice.
  3. Sisteme cu sumă și produsx + y = s, xy = p: ecuația t² − st + p = 0.
  4. Graficul: parabolaVârful, axa de simetrie, deschiderea după a.
  5. Intersecțiile parabolei cu axeleCu Oy în (0, c); cu Ox după delta.
  6. Simetria paraboleiDreapta x = −b/2a; puncte simetrice.
  7. Vârful ca extrem și monotoniaMinim sau maxim; crescătoare de o parte, descrescătoare de cealaltă.
12. Funcția de gradul al II-lea: semn și poziții6 lecții
  1. Semnul funcției de gradul al II-leaTabelul de semn după delta și a.
  2. Inecuații de gradul al II-leaPe ℝ și pe intervale.
  3. Imagini și preimagini ale unor intervaleIm f; f([m, n]) cu vârful înăuntru sau nu.
  4. Dreaptă și parabolăSistemul; secantă, tangentă, exterioară după delta.
  5. Două paraboleSistemul a două ecuații de gradul al II-lea; interpretarea.
  6. Probleme de maxim și minimModelarea prin funcția de gradul al II-lea.
13. Vectori6 lecții
  1. Segment orientat și echipolențăDirecție, sens, lungime; când sunt echipolente.
  2. Vectori; vectori egali, opuși, coliniari, nulClasa de segmente echipolente.
  3. Adunarea vectorilorRegula triunghiului și a paralelogramului; proprietăți.
  4. Înmulțirea cu scalarik·v: aceeași direcție, sens după semnul lui k.
  5. Condiția de coliniaritateu și v coliniari ⇔ u = k·v (v nenul).
  6. Descompunerea după doi vectori necoliniariv = a·u₁ + b·u₂, unic.
14. Calcul vectorial în geometria plană7 lecții
  1. Vectorul de pozițieUn punct = un vector din origine; AB = r_B − r_A.
  2. Punctul care împarte un segment într-un raport datMA = k·MB; mijlocul segmentului.
  3. Teorema lui Thales, vectorialParalelism din proporționalitate și invers.
  4. Centrul de greutate al triunghiuluir_G = (r_A + r_B + r_C)/3; concurența medianelor.
  5. Teorema bisectoarei și centrul cercului înscrisBisectoarea împarte latura opusă proporțional cu laturile.
  6. Ortocentrul și relația lui SylvesterOH = OA + OB + OC; concurența înălțimilor.
  7. Teoremele lui Menelau și CevaColiniaritate pe o transversală; concurența cevienelor.
15. Cercul trigonometric6 lecții
  1. Măsura în radianiπ radiani = 180°; conversia în ambele sensuri.
  2. Sinus și cosinus pe cercOrdonata și abscisa punctului; semnele pe cadrane.
  3. Tangenta și cotangentasin/cos și cos/sin; unde nu sunt definite.
  4. Valorile remarcabile0, π/6, π/4, π/3, π/2 și tabelul lor.
  5. Funcțiile trigonometrice pe ℝsin, cos: ℝ → [−1, 1], periodice; tg, ctg și domeniile lor.
  6. Reducerea la primul cadranπ − x, π + x, 2π − x; semnul și valoarea.
16. Formule trigonometrice5 lecții
  1. Formula fundamentalăsin²x + cos²x = 1; din una, cealaltă, cu semn după cadran.
  2. sin(a ± b), cos(a ± b)Cele patru formule; valorile la 15° și 75°.
  3. sin 2a, cos 2aTrei forme pentru cos 2a.
  4. Transformarea sumei în produssin a ± sin b, cos a ± cos b.
  5. Identități și alegerea formuleiSe pornește de la partea mai complicată.
17. Produsul scalar5 lecții
  1. Produsul scalaru·v = |u|·|v|·cos(u, v); un număr, nu un vector.
  2. Proprietățile produsului scalarComutativ, distributiv, u·u = |u|².
  3. Perpendicularitateu ⊥ v ⇔ u·v = 0.
  4. Teorema cosinusuluia² = b² + c² − 2bc·cos A; latura din două laturi și unghi.
  5. Rezolvarea triunghiului dreptunghicSin, cos, tg ale unghiului ascuțit; toate elementele.
18. Triunghiul oarecare5 lecții
  1. Teorema sinusurilora/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R.
  2. Rezolvarea triunghiului oarecareCe se dă, ce teoremă se folosește.
  3. Aria triunghiuluiS = ab·sin C/2; formula lui Heron.
  4. Razele cercurilor circumscris și înscrisR = abc/4S; r = S/p.
  5. Mediana, bisectoarea, înălțimeaLungimile lor, din laturi.

Un parcurs pe care îl construim pas cu pas

  • Înțelege

    Explicații și exemple rezolvate pentru ideile cursului.

  • Exersează

    Încearcă singur și cere un indiciu când ai nevoie.

  • Consolidează

    Revino la ce merită exersat și urmărește ce ai înțeles.

Cursuri înrudite