Sari la conținut
Nivelo
Temă activă: luminoasăÎncearcă gratuit
← Toate cursurile

Matematică · Clasa a VIII-a

Olimpiada de matematică · clasa a VIII-a

Pregătire pentru Olimpiada Națională de Matematică, clasa a VIII-a, pe programa SSMR: intervale, inecuații și geometrie în spațiu la etapa locală, ecuația de gradul al II-lea și corpuri la județeană, funcții, corpuri rotunde și locuri geometrice la națională — cu probleme rezolvate pe barem și strategia de concurs.

Despre acest curs

Idei care capătă sens.

Cele 31 de competențe ale programei ONM pentru clasa a VIII-a (SSMR, 2025-2026), organizate pe etape: etapa locală (intervale și inecuații, calcul algebric în R, minime prin pătrate, numere de forma a + b√3, pătrate perfecte și resturi, diferența de cuburi; puncte, drepte, plane, paralelism și perpendicularitate, unghiul a două drepte, proiecții, teorema celor trei perpendiculare), etapa județeană (ecuația de gradul al II-lea și raționalitatea rădăcinilor, distanțe și unghiuri în corpuri, arii și volume ale poliedrelor) și etapa națională (funcții și statistică, corpuri rotunde, perpendiculara comună, reciprocele teoremei celor trei perpendiculare, plan mediator și bisector, locuri geometrice). Fiecare competență are o lecție cu ideea, capcanele și un exemplu rezolvat din subiectele 2026, exerciții grilă și, la competențele-cheie, probleme cu rezolvare completă corectate pe barem. Un domeniu aparte e strategia de concurs.

Programa cursului

Ce învață copilul, lecție cu lecție.

31 de lecții în 5 domenii, aproximativ 4 ore de lucru. Fiecare lecție are explicații, exemple rezolvate și exerciții cu indicii.

1. Etapa locală: intervale, inecuații și calcul algebric8 lecții
  1. Intervale și operații cu intervaleIntervale deschise, închise, nemărginite; reuniunea, intersecția, diferența; apartenența.
  2. Inecuații și sisteme de inecuațiiInecuații de gradul I, sensul la înmulțirea cu negative, sisteme, soluții naturale; subiectul 1 a) de la locală 2026.
  3. Formule de calcul în R și expresii simetrice(x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x²; x³ + 1/x³; formulele de calcul prescurtat cu radicali; subiectul 1 b) de la locală 2026.
  4. Rapoarte de expresii algebriceCondiții de existență, amplificare, simplificare, adunarea rapoartelor; valori întregi ale unui raport.
  5. Minime prin restrângerea pătratelorax² + bx + c ≥ minim prin (px + q)² ≥ 0; produs de expresii minorate; cazul de egalitate; subiectul 2 de la locală 2026.
  6. Numere de forma a + b√3: raționalitateax + √3 ∈ Q ⟹ x = a − √3; a + b√3 ∈ Q ⟹ b = 0; condiții pe coeficientul lui √3; problema 1 de la județeană 2026.
  7. Pătrate perfecte și resturi: iraționalitatea unui radical√A irațional ⟺ A nu e pătrat perfect; resturile pătratelor la 11, 3, 4, 8; xxx = 111x; problema 2 de la județeană 2026.
  8. Diferența de cuburi și ecuații în numere naturalea³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²); mărginiri; divizori; problema 4 de la județeană 2026.
2. Etapa locală: geometrie în spațiu7 lecții
  1. Puncte, drepte, plane; corpurileDeterminarea planului, poziții relative, cubul, prisma, piramida, tetraedrul.
  2. Paralelism în spațiuDreaptă paralelă cu un plan (criteriul), plane paralele, MN ∥ BD ⟹ MN ∥ (BAD); subiectul 4 de la locală 2026.
  3. Perpendicularitate în spațiuDreaptă perpendiculară pe plan (două drepte concurente), consecințe; AB ⊥ (CMC′) în prisma regulată; problema 3 de la județeană 2026.
  4. Unghiul a două drepte în spațiuUnghiul prin paralele duse printr-un punct, calculul în triunghiul format, cosinusul; subiectul 3 a) de la locală 2026.
  5. Proiecții ortogonale și unghiul dreptei cu planulProiecția unui punct, a unui segment; unghiul dintre dreaptă și plan; lungimea proiecției.
  6. Teorema celor trei perpendiculareEnunțul, configurația, distanța de la un punct la o dreaptă din plan, apotema piramidei.
  7. Linii mijlocii și centre de greutate în figuri spațialeLinia mijlocie în triunghiuri din fețe și secțiuni, rapoarte pe muchii, reciproca lui Thales, centrul de greutate; subiectul 4 de la locală 2026.
3. Etapa județeană: ecuația de gradul al II-lea și corpuri6 lecții
  1. Ecuația de gradul al II-lea: rezolvareaRestrângerea pătratului, descompunerea în factori, discriminantul, ecuații incomplete.
  2. Ecuația de gradul al II-lea și raționalitatea rădăcinilorRădăcini raționale ⟺ discriminant pătrat perfect; 3a² + 6a + 2 = 0 n-are rădăcini raționale; problema 1 b) de la județeană 2026.
  3. Distanțe în corpuri: prin calculDiagonala feței și a cubului, segmente între mijloace de muchii, triunghiuri din interiorul corpului; subiectul 3 b) de la locală 2026.
  4. Unghiuri în corpuri: prin calculUnghiul dintre drepte, dintre dreaptă și plan, dintre plane (unghiul diedru), calculate în triunghiuri.
  5. Arii ale poliedrelorAria laterală și totală la cub, prismă și piramidă regulată, apotema, tetraedrul regulat.
  6. Volume ale poliedrelorVolumul prismei, piramidei, trunchiului, tetraedrului regulat; cubul împărțit în cuburi; problema 4 de la județeană 2026.
4. Etapa națională: funcții, corpuri rotunde, locuri geometrice6 lecții
  1. Funcții: definiție, grafic, funcția de gradul IDomeniu, codomeniu, grafic, f(x) = ax + b, intersecțiile cu axele, puncte pe grafic.
  2. Elemente de statisticăMedia, mediana, modul, amplitudinea, diagrame, probleme cu tabele.
  3. Corpuri rotundeCilindrul, conul, trunchiul de con, sfera: arii și volume, secțiuni axiale.
  4. Perpendiculara comună a două drepteDrepte necoplanare, perpendiculara comună și distanța dintre drepte; calculul în cub.
  5. Reciprocele teoremei celor trei perpendiculare; plan mediator; plan bisectorCele două reciproce, planul mediator al unui segment și proprietatea lui, planul bisector al unui diedru.
  6. Probleme elementare de loc geometricLocul punctelor egal depărtate de un punct, de două puncte, de o dreaptă, de două plane; demonstrația în două sensuri.
5. Strategia de concurs4 lecții
  1. Structura probei și punctajulEtapa locală și județeană: patru probleme, trei ore, zece puncte din oficiu; cum se califică.
  2. Redactarea: pașii care iau puncteBaremul punctează idei intermediare; „arătați că” cere demonstrație, nu verificare; exemplul și demonstrația.
  3. Timpul și ordineaCitirea tuturor problemelor, alegerea ordinii, cât timp pe o problemă blocată, cerințele a).
  4. Greșelile care costă puncteExemplul luat drept demonstrație, cazul uitat, restul mai mare decât împărțitorul, exemplul neconstruit.

Un parcurs pe care îl construim pas cu pas

  • Înțelege

    Explicații și exemple rezolvate pentru ideile cursului.

  • Exersează

    Încearcă singur și cere un indiciu când ai nevoie.

  • Consolidează

    Revino la ce merită exersat și urmărește ce ai înțeles.

Cursuri înrudite