Sari la conținut
Nivelo
Temă activă: luminoasăÎncearcă gratuit
← Toate cursurile

Matematică · Clasa a X-a

Matematică · clasa a X-a

Funcțiile noi și ecuațiile lor — putere, radical, exponențială, logaritmică, trigonometrice inverse —, numerele complexe, combinatorica, probabilitățile și dreapta în coordonate. Programa de 4 ore.

Despre acest curs

Idei care capătă sens.

Cele 91 de competențe din programa de matematică pentru clasa a X-a, trunchi comun și curriculum diferențiat (4 ore, OMEC 4598/2004). Calculul cu puteri, radicali și logaritmi vine înaintea funcțiilor lor; injectivitatea, surjectivitatea și inversabilitatea au domeniul lor, ca limbaj pentru toate funcțiile; numerele complexe au forma algebrică și forma trigonometrică în domenii separate; combinatorica e împărțită după cum contează sau nu ordinea; matematicile financiare, statistica și probabilitățile vin cu aplicațiile cerute de programă — buget, credite, profit; geometria analitică pornește de la coordonate și ajunge la dreaptă. Fiecare rând al programei de 4 ore e acoperit.

Programa cursului

Ce învață copilul, lecție cu lecție.

91 de lecții în 16 domenii, aproximativ 13 ore de lucru. Fiecare lecție are explicații, exemple rezolvate și exerciții cu indicii.

1. Puteri și radicali6 lecții
  1. Radicalul de ordinul nⁿ√a: unic pentru n impar; pentru n par, doar din a ≥ 0.
  2. Proprietățile radicalilorProdus, cât, putere, radical din radical.
  3. Raționalizarea numitorilorCu radicali de ordinul 2 și 3; conjugata.
  4. Puteri cu exponent raționala^(m/n) = ⁿ√(aᵐ), a > 0.
  5. Puteri cu exponent realProprietățile, ținute; monotonia după bază.
  6. Aproximări raționale ale numerelor reale√2, 2^√2, π: încadrări între raționale.
2. Logaritmi6 lecții
  1. Ce e un logaritmlogₐ b = c ⇔ aᶜ = b; condițiile de existență.
  2. Proprietățile logaritmilorLogaritmul produsului, câtului, puterii.
  3. Schimbarea bazeilogₐ b = log꜀ b / log꜀ a; logₐ b · log_b a = 1.
  4. Calcule cu logaritmilg, ln; expresii; log₂ 8, lg 0,001.
  5. Operația de logaritmareSe logaritmează o expresie: produsele devin sume.
  6. Compararea logaritmilorDupă bază: subunitară întoarce ordinea.
3. Numere complexe: forma algebrică7 lecții
  1. Numărul i și forma algebricăi² = −1; z = a + bi; parte reală, parte imaginară; egalitate.
  2. Adunarea și înmulțireaCa la polinoame, cu i² = −1; puterile lui i.
  3. Conjugatul și împărțireaz̄ = a − bi; z·z̄ = a² + b²; amplificarea cu conjugatul.
  4. Modulul|z| = √(a² + b²); proprietăți.
  5. Interpretarea geometricăAfixul; adunarea ca vectori; înmulțirea cu un real.
  6. Ecuația de gradul al II-lea în ℂdelta < 0: rădăcini complexe conjugate.
  7. Ecuații bipătrateax⁴ + bx² + c = 0: substituția t = x².
4. Numere complexe: forma trigonometrică5 lecții
  1. Forma trigonometricăz = r(cos t + i sin t): modul și argument.
  2. Înmulțirea și împărțirea în formă trigonometricăModulele se înmulțesc, argumentele se adună; rotație și scalare.
  3. Formula lui Moivrezⁿ = rⁿ(cos nt + i sin nt).
  4. Rădăcinile de ordinul nn rădăcini, pe un cerc, la unghiuri egale.
  5. Ecuații binomezⁿ = a: rădăcinile de ordinul n ale lui a.
5. Injectivitate, surjectivitate, inversabilitate6 lecții
  1. Funcții injectiveElemente diferite, imagini diferite; testul orizontalei.
  2. Funcții surjectiveOrice element din codomeniu e atins.
  3. Funcții bijectiveInjectivă și surjectivă; corespondență unu la unu.
  4. Funcția inversăf⁻¹ există ⇔ f bijectivă; cum se calculează.
  5. Graficul inverseiSimetric față de prima bisectoare y = x.
  6. Convexitate și concavitate, pe graficȚine apa sau o varsă; lectura grafică.
6. Funcția putere și funcția radical5 lecții
  1. Funcția putere cu exponent parx², x⁴: pară, minim în 0, nu e injectivă.
  2. Funcția putere cu exponent imparx³, x⁵: impară, strict crescătoare, bijectivă.
  3. Funcția radical de ordin par√x, ⁴√x: pe [0, ∞), inversa puterii restrânse.
  4. Funcția radical de ordin impar³√x: pe ℝ, impară, inversa lui x³.
  5. Ecuații iraționaleCondiții de existență, ridicare la pătrat, verificare.
7. Funcția exponențială și funcția logaritmică7 lecții
  1. Funcția exponențialăaˣ: graficul, monotonia după a, asimptota.
  2. Creșterea exponențialăDublarea, înjumătățirea; de ce întrece orice putere.
  3. Funcția logaritmicălogₐ x: inversa exponențialei; graficul, monotonia.
  4. Creșterea logaritmicăLentă, nemărginită; scări logaritmice (pH, decibeli, Richter).
  5. Ecuații exponențialeAceeași bază; substituția t = aˣ.
  6. Ecuații logaritmiceCondiții de existență; aceeași bază; substituție.
  7. Inecuații exponențiale și logaritmiceMonotonia decide sensul; baza subunitară îl întoarce.
8. Funcții trigonometrice directe și inverse5 lecții
  1. Graficele funcțiilor sin, cos, tg, ctgSinusoida, perioada, zerourile, extremele.
  2. De ce se restrângsin nu e injectivă pe ℝ; intervalul pe care e bijectivă.
  3. arcsin și arccosDomenii, codomenii, grafice, valori remarcabile.
  4. arctg și arcctgDefinite pe ℝ; asimptote orizontale.
  5. Proprietăți ale funcțiilor inversesin(arcsin x) = x; arcsin(sin x) nu e totdeauna x; arcsin(−x) = −arcsin x; arcsin x + arccos x = π/2.
9. Ecuații trigonometrice6 lecții
  1. sin x = a, cos x = aSoluțiile generale, cu k ∈ ℤ.
  2. tg x = a, ctg x = aO soluție pe perioadă: x = arctg a + kπ.
  3. sin f(x) = sin g(x)f = g + 2kπ sau f = π − g + 2kπ.
  4. cos f(x) = cos g(x), tg f(x) = tg g(x)f = ±g + 2kπ; f = g + kπ.
  5. a·sin x + b·cos x = cMetoda unghiului auxiliar; condiția c² ≤ a² + b².
  6. Soluțiile dintr-un intervalDin soluția generală, valorile lui k care încap.
10. Permutări și aranjamente5 lecții
  1. Numărul funcțiilor între mulțimi finite|B|^|A|: fiecare element din A alege independent.
  2. Permutărin! = numărul ordonărilor; bijecțiile A → A.
  3. AranjamenteAₙᵐ = n!/(n − m)!: submulțimi ordonate; injecțiile.
  4. Calcule cu factorialeSimplificări, ecuații cu n!, Aₙᵐ.
  5. Probleme cu ordineCând e permutare, când e aranjament, când e putere.
11. Combinări și binomul lui Newton6 lecții
  1. CombinăriCₙᵏ = n!/(k!(n − k)!): submulțimi fără ordine.
  2. Proprietățile combinărilorCₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ; Cₙᵏ = Cₙ₋₁ᵏ⁻¹ + Cₙ₋₁ᵏ; triunghiul lui Pascal; suma 2ⁿ.
  3. Probleme cu combinăriComisii, mâini de cărți, „cel puțin”; ordine sau nu.
  4. Binomul lui Newton(a + b)ⁿ = suma Cₙᵏ aⁿ⁻ᵏ bᵏ.
  5. Termenul generalTₖ₊₁ = Cₙᵏ aⁿ⁻ᵏ bᵏ: al câtelea, cu ce coeficient.
  6. Aplicații ale binomuluiSume de combinări; termenul care nu-l conține pe x; termenul rațional.
12. Calcul financiar4 lecții
  1. Procente și variații procentualeCreșteri, scăderi, procente succesive.
  2. TVA, preț de cost, profitPreț fără și cu TVA; adaos comercial; profit.
  3. Dobânda simplăD = S·p·t/100; depozite pe termen scurt.
  4. Dobânda compusă și crediteleSₙ = S(1 + p/100)ⁿ; rate, amortizare, buget.
13. Statistică4 lecții
  1. Date statistice și reprezentarea lorPopulație, caracteristică, frecvențe; tabele și grafice.
  2. Medii, mediană, modMedia aritmetică și ponderată; mediana; valoarea modală.
  3. Dispersia și abaterileAbaterea medie, dispersia, abaterea standard.
  4. Interpretarea datelorCe spun media și dispersia împreună; comparări.
14. Probabilități7 lecții
  1. Evenimente și operații cu eleSpațiul de probe; reuniune, intersecție, contrar, incompatibile.
  2. Probabilitatea clasicăCazuri favorabile / cazuri posibile, egal probabile.
  3. Probabilitatea reuniunii și a contraruluiP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); P(Ā) = 1 − P(A).
  4. Probabilități condiționateP(A|B) = P(A ∩ B)/P(B).
  5. Evenimente independenteP(A ∩ B) = P(A)·P(B); independent nu e incompatibil.
  6. Variabile aleatoareDistribuția, media (valoarea așteptată).
  7. Schemele lui Bernoulli și Poissonn încercări cu aceeași probabilitate; cu probabilități diferite.
15. Geometrie analitică: puncte și vectori5 lecții
  1. Distanța dintre două puncte și mijlocul√[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]; mijlocul, media coordonatelor.
  2. Coordonatele unui vectorAB = (x_B − x_A, y_B − y_A); suma, produsul cu scalar.
  3. Coliniaritate în coordonateu ∥ v ⇔ x₁y₂ − x₂y₁ = 0; puncte coliniare.
  4. Produsul scalar în coordonatex₁x₂ + y₁y₂; unghiul dintre vectori; perpendicularitate.
  5. Centrul de greutate și punctul care împarte un segmentMedia coordonatelor; formula cu raportul.
16. Dreapta în plan7 lecții
  1. Dreapta prin punct și direcțieVector director, pantă; y − y₀ = m(x − x₀).
  2. Dreapta prin două punctePanta (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁); cazul verticalei.
  3. Ecuația generală ax + by + c = 0Panta −a/b; trecerea între forme; intersecția cu axele.
  4. Drepte paralelePante egale; a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂.
  5. Drepte perpendicularem₁·m₂ = −1; a₁a₂ + b₁b₂ = 0.
  6. Distanța de la un punct la o dreaptă|ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²).
  7. Aria triunghiului în coordonateFormula cu determinant; coliniaritate ca arie zero.

Un parcurs pe care îl construim pas cu pas

  • Înțelege

    Explicații și exemple rezolvate pentru ideile cursului.

  • Exersează

    Încearcă singur și cere un indiciu când ai nevoie.

  • Consolidează

    Revino la ce merită exersat și urmărește ce ai înțeles.

Cursuri înrudite