Sari la conținut
Nivelo
Temă activă: luminoasăÎncearcă gratuit
← Toate cursurile

Matematică · Clasa a XII-a

Matematică · clasa a XII-a

Structuri algebrice — legi de compoziție, grupuri, inele, corpuri, polinoame — și calculul integral: primitive, integrala definită, metode, arii și volume. Programa 1, profil real.

Despre acest curs

Idei care capătă sens.

Cele 61 de competențe din programa 1 de matematică pentru clasa a XII-a (filiera teoretică, profil real, matematică-informatică, OMEC 5959/2006). Algebra urcă de la legile de compoziție, verificate proprietate cu proprietate pe tabla operației, la grupuri, inele și corpuri, cu ℤₙ ca exemplu de lucru, și încheie cu polinoamele în trei trepte: forma și operațiile, divizibilitatea și descompunerea, rădăcinile și ecuațiile. Analiza pornește de la primitive, cu tabelul lor și cu recunoașterea formelor u'·g(u), trece prin sumele Riemann și formula Leibniz–Newton, prin metodele de calcul — părți, schimbare de variabilă, fracții simple — și ajunge la arii, volume de rotație și limite de șiruri calculate cu integrala.

Programa cursului

Ce învață copilul, lecție cu lecție.

61 de lecții în 10 domenii, aproximativ 9 ore de lucru. Fiecare lecție are explicații, exemple rezolvate și exerciții cu indicii.

1. Legi de compoziție5 lecții
  1. Legea de compoziție și partea stabilăAflă când o operație păstrează rezultatul în aceeași mulțime și cum verifici asta, pas cu pas.
  2. Asociativitatea și comutativitateaSe verifică cu litere; un contraexemplu le dărâmă.
  3. Elementul neutrue cu x ∘ e = e ∘ x = x pentru orice x; unic.
  4. Elementele simetrizabilex' cu x ∘ x' = x' ∘ x = e; care elemente au simetric.
  5. Tabla operațieiCitirea proprietăților din tablă: neutru, simetrice, comutativitate.
2. Grupuri8 lecții
  1. Ce e un grupAsociativă, element neutru, toate elementele simetrizabile; grup abelian.
  2. Grupuri numerice(ℤ, +), (ℚ*, ·), (ℝ, +), intervale cu legi date.
  3. Grupuri de matrice și de permutăriMatricele inversabile cu înmulțirea; Sₙ cu compunerea; necomutative.
  4. Grupul ℤₙClasele de resturi modulo n; adunarea; tabla lui ℤ₄.
  5. SubgrupulO parte stabilă care e grup cu aceeași lege; criteriul x ∘ y' ∈ H.
  6. Grupuri finite și ordinul unui elementCel mai mic n cu xⁿ = e; ordinul divide ordinul grupului.
  7. Morfismul de grupurif(x ∘ y) = f(x) ∗ f(y); duce neutrul în neutru și simetricul în simetric.
  8. Izomorfismul și transferul proprietățilorMorfism bijectiv; grupurile izomorfe sunt „la fel”.
3. Inele și corpuri6 lecții
  1. Ce e un inelGrup abelian la adunare, monoid la înmulțire, distributivitate; exemple.
  2. Calcule într-un inela·0 = 0, (−a)b = −(ab), binomul în inele comutative.
  3. Divizorii lui zeroab = 0 cu a, b ≠ 0: în ℤ₆, în matrice; inele integre.
  4. Ce e un corpInel comutativ în care orice element nenul e inversabil; ℚ, ℝ, ℂ, ℤₚ.
  5. Elementele inversabile din ℤₙ; ecuații în ℤₙInversabil ⇔ prim cu n; rezolvarea lui ax = b în ℤₙ.
  6. Morfisme de inele și de corpuriPăstrează amândouă operațiile și pe 1; exemple.
4. Polinoame: forma și operațiile6 lecții
  1. Forma algebrică și gradulCoeficienți într-un corp; gradul; polinomul nul.
  2. Funcția polinomială și valoarea în af(a); rădăcină ⇔ f(a) = 0; f(1) și f(−1) ca sume de coeficienți.
  3. Operații cu polinoameAdunare, înmulțire, gradul sumei și al produsului.
  4. Egalitatea polinoamelor; identificarea coeficiențilorDoi coeficienți egali pe fiecare grad; determinarea parametrilor.
  5. Teorema împărțirii cu restf = g·q + r, grad r < grad g; algoritmul.
  6. Împărțirea cu X − a și schema lui HornerCâtul și restul dintr-un tabel; restul e f(a).
5. Divizibilitate și descompunere6 lecții
  1. Teorema lui BézoutRestul împărțirii la X − a e f(a); X − a | f ⇔ f(a) = 0.
  2. Divizibilitatea polinoamelorg | f ⇔ restul e 0; proprietăți; polinoame asociate.
  3. c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.Algoritmul lui Euclid pentru polinoame.
  4. Polinoame ireductibileDepinde de corp: X² + 1 e ireductibil peste ℝ, nu peste ℂ.
  5. Descompunerea în factori ireductibiliPeste ℂ: factori de gradul 1; peste ℝ: gradul 1 și 2.
  6. Rădăcini multipleOrdinul de multiplicitate; (X − a)ᵏ | f; legătura cu derivata.
6. Rădăcini, Viète, ecuații8 lecții
  1. Relațiile lui ViètePentru gradele 2, 3, 4: sumele simetrice ale rădăcinilor.
  2. Rădăcini complexe ale polinoamelor cu coeficienți realiVin în perechi conjugate; factorul X² − 2Re(z)X + |z|².
  3. Rădăcini iraționale ale polinoamelor cu coeficienți raționalia + √b vine cu a − √b.
  4. Rădăcini raționale ale polinoamelor cu coeficienți întregip/q: p divide termenul liber, q divide coeficientul dominant.
  5. Ecuații binome și bipătratezⁿ = a, recapitulat; ax⁴ + bx² + c = 0.
  6. Ecuații reciproceCoeficienți simetrici; grad impar: −1 e rădăcină; grad 4: t = x + 1/x.
  7. Determinarea unui polinom din condițiiDin rădăcini, din valori, din resturi.
  8. Sume de puteri ale rădăcinilorS₂ din Viète; Sₙ din ecuație, prin recurență.
7. Primitive6 lecții
  1. Primitiva și integrala nedefinităF' = f; două primitive diferă printr-o constantă; ∫f(x)dx = F(x) + C.
  2. Ce funcții au primitiveFuncțiile continue au; o funcție fără proprietatea lui Darboux nu are.
  3. Tabelul primitivelor uzualeTabelul derivatelor, citit invers.
  4. Liniaritatea∫(af + bg) = a∫f + b∫g; primitive de polinoame și sume.
  5. Recunoașterea formelor u'·g(u)∫u'·uⁿ, ∫u'/u, ∫u'·eᵘ: derivata dinăuntru e la vedere.
  6. Primitive ale funcțiilor pe ramuriSe integrează fiecare ramură, apoi se lipesc constantele prin continuitate.
8. Integrala definită6 lecții
  1. Diviziuni și sume RiemannDiviziune, normă, puncte intermediare; suma ariilor dreptunghiurilor.
  2. IntegrabilitateaLimita sumelor Riemann când norma → 0; funcțiile continue sunt integrabile.
  3. Formula Leibniz–Newton∫ₐᵇ f = F(b) − F(a); calculul integralelor cu primitive.
  4. Proprietățile integralei definiteLiniaritate, aditivitate față de interval, schimbarea capetelor.
  5. Monotonia și teorema de medief ≤ g ⇒ ∫f ≤ ∫g; există c cu ∫ₐᵇ f = f(c)(b − a).
  6. Existența primitivelor unei funcții continueF(x) = ∫ₐˣ f(t)dt e primitivă; derivarea integralei cu capăt variabil.
9. Metode de calcul6 lecții
  1. Integrarea prin părți∫f·g' = f·g − ∫f'·g; cine e f, cine e g'.
  2. Schimbarea de variabilă∫ₐᵇ f(u(x))u'(x)dx = ∫ f(t)dt cu capetele schimbate.
  3. Fracții simple: factori liniariQ cu rădăcini reale, simple sau multiple.
  4. Fracții simple: factori pătratici ireductibiliTermeni (Ax + B)/(x² + px + q); arctg și ln.
  5. Integrale trigonometricesin², cos², produse: prin formule; funcții pare și impare pe interval simetric.
  6. Integrale cu modul și funcții pe ramuriAditivitatea: se sparge intervalul unde se schimbă formula.
10. Aplicații ale integralei4 lecții
  1. Aria de sub grafic∫ₐᵇ f pentru f ≥ 0; cu semn când f schimbă semnul.
  2. Aria dintre două grafice∫ₐᵇ (f − g), cu f ≥ g; capetele din intersecții.
  3. Volumul corpului de rotațieV = π∫ₐᵇ f²(x)dx.
  4. Limite de șiruri cu integralaSume de forma (1/n)·suma după k a lui f(k/n) → ∫₀¹ f.

Un parcurs pe care îl construim pas cu pas

  • Înțelege

    Explicații și exemple rezolvate pentru ideile cursului.

  • Exersează

    Încearcă singur și cere un indiciu când ai nevoie.

  • Consolidează

    Revino la ce merită exersat și urmărește ce ai înțeles.

Cursuri înrudite