Sari la conținut
Nivelo
Temă activă: luminoasăÎncearcă gratuit
← Toate cursurile

Matematică · Clasa a VII-a

Olimpiada de matematică · clasa a VII-a

Pregătire pentru Olimpiada Națională de Matematică, clasa a VII-a, pe programa SSMR: numere reale, calcul algebric, patrulatere și cerc la etapa locală, ecuații și asemănare la județeană, identități, inegalități și relații metrice la națională — cu probleme rezolvate pe barem și strategia de concurs.

Despre acest curs

Idei care capătă sens.

Cele 34 de competențe ale programei ONM pentru clasa a VII-a (SSMR, 2025-2026), organizate pe etape: etapa locală (radicali, raționalizare, radicali dubli, partea întreagă, iraționalitate, formule de calcul prescurtat, descompuneri; patrulatere, centrul de greutate și arii, unghiuri în cerc, patrulatere inscriptibile și circumscriptibile), etapa județeană (ecuații și sisteme, ecuații cu modul și radicali, Thales și asemănarea, paralelele neechidistante, teorema bisectoarei, puterea punctului) și etapa națională (organizarea datelor, identități algebrice, inegalități și medii, relații metrice, Pitagora generalizată, arii, Menelaos și Ceva). Fiecare competență are o lecție cu ideea, capcanele și un exemplu rezolvat din subiectele 2026, exerciții grilă și, la competențele-cheie, probleme cu rezolvare completă corectate pe barem. Un domeniu aparte e strategia de concurs.

Programa cursului

Ce învață copilul, lecție cu lecție.

34 de lecții în 5 domenii, aproximativ 5 ore de lucru. Fiecare lecție are explicații, exemple rezolvate și exerciții cu indicii.

1. Etapa locală: numere reale și calcul algebric9 lecții
  1. Radicali: proprietăți și calcule√(a²) = |a|, scoaterea factorilor de sub radical, produse și câturi, compararea radicalilor.
  2. Raționalizarea numitorilorAmplificarea cu radicalul sau cu conjugata; sume telescopice cu radicali.
  3. Formula radicalilor dubliRestrângerea în pătrat perfect sau formula; semnul rezultatului; subiectul 1 de la locală 2026.
  4. Partea întreagă și partea fracționară[x] ≤ x < [x] + 1, x = [x] + {x}, 0 ≤ {x} < 1; ecuații cu parte întreagă și fracționară; problema 1 de la județeană 2026.
  5. Încadrări și estimări cu radicali[√n], încadrarea între întregi consecutivi, compararea expresiilor cu radicali; subiectul 1 c) de la locală 2026.
  6. Iraționalitate: demonstrații√a irațional pentru a nepătrat perfect; a + x și a·x iraționale; p√a + q√b ∈ Q; reducerea la absurd.
  7. Când e √N rațional: pătrate perfecte√N ∈ Q ⟺ N pătrat perfect; a² + k·b² pătrat perfect; c² − a² = (c − a)(c + a) și paritatea; problema 2 de la județeană 2026.
  8. Formulele de calcul prescurtat(a ± b)², (a + b)(a − b), (a + b + c)²; calcule numerice rapide și restrângeri.
  9. Descompuneri în factoriFactor comun, diferență de pătrate, restrângerea pătratului, gruparea; ecuații rezolvate prin descompunere.
2. Etapa locală: patrulatere și cerc6 lecții
  1. Paralelogramul și paralelogramele particulareProprietăți și criterii pentru paralelogram, dreptunghi, romb, pătrat; diagonalele.
  2. Trapezul și linia mijlocieTrapezul isoscel și dreptunghic, linia mijlocie, segmentul dintre mijloacele diagonalelor.
  3. Centrul de greutate și ariile în triunghiMediana împarte aria în două; AO = 2·OM; cele șase triunghiuri egale; arii cu aceeași înălțime; subiectul 2 de la locală 2026.
  4. Unghiuri în cercUnghi la centru, unghi înscris, unghiul înscris în semicerc, coarde și arce, tangenta.
  5. Patrulatere inscriptibileCriterii: unghiuri opuse suplementare, unghiuri egale sub aceeași coardă, puncte egal depărtate; conciclicitate; subiectul 4 de la locală 2026.
  6. Patrulatere circumscriptibileTangentele dintr-un punct, teorema lui Pitot a + c = b + d și reciproca; cercul înscris.
3. Etapa județeană: ecuații și asemănare7 lecții
  1. Ecuații și sisteme de ecuațiiEcuații de gradul I cu parametru, sisteme prin substituție și reducere, probleme cu ecuații.
  2. Ecuații cu modul și cu radicaliCondiții de existență, ridicarea la pătrat cu verificare, mărginirea sumelor de radicali; subiectul 3 de la locală 2026.
  3. Teorema lui Thales și teorema fundamentală a asemănăriiSegmente proporționale, reciproca lui Thales, paralela la o latură formează un triunghi asemenea.
  4. Criteriile de asemănare și problemele lorU.U., L.U.L., L.L.L.; raportul de asemănare, perimetrele, ariile; problema 3 de la județeană 2026.
  5. Teorema paralelelor neechidistanteParalelele taie două secante în segmente proporționale; echidistante; aplicații la trapez.
  6. Teorema bisectoarei și reciprocaBisectoarea interioară: BD/DC = AB/AC; bisectoarea exterioară; reciproca; calcule de segmente.
  7. Puterea unui punct față de cercPA·PB = PC·PD pentru secante prin P; PT² = PA·PB pentru tangentă; demonstrația prin asemănare.
4. Etapa națională: identități, inegalități, relații metrice8 lecții
  1. Elemente de organizare a datelorTabele, medii, mediană, frecvențe, probabilități simple în probleme de concurs.
  2. Identități algebrice: aⁿ − bⁿ, aⁿ + bⁿ, Lagrangeaⁿ − bⁿ = (a − b)(…), aⁿ + bⁿ pentru n impar, identitatea lui Lagrange; divizibilități și sume de pătrate.
  3. Inegalități elementarea² + b² ≥ 2ab, a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca, a/b + b/a ≥ 2; cazul de egalitate; minime și maxime.
  4. Inegalitatea mediilor și Cauchy–Buniakovski–SchwarzMediile armonică, geometrică, aritmetică, pătratică; CBS; maxim și minim; √a + √b ≤ √(2(a + b)).
  5. Relații metrice în triunghiul dreptunghicTeorema înălțimii, teorema catetei, teorema lui Pitagora și reciproca, aria cu catetele și cu ipotenuza.
  6. Teorema lui Pitagora generalizată, cosinusului, sinusurilor, medianeia² = b² + c² − 2bc·cos A; a/sin A = 2R; 4mₐ² = 2(b² + c²) − a²; natura unghiurilor din laturi.
  7. Formule de ariiHeron, ab·sin C/2, p·r, abc/4R, aria patrulaterului convex cu diagonalele; alegerea formulei.
  8. Teoremele lui Menelaos și CevaMenelaos pentru coliniaritate, Ceva pentru concurență, reciprocele; rapoarte citite pe conturul triunghiului.
5. Strategia de concurs4 lecții
  1. Structura probei și punctajulEtapa locală și județeană: patru probleme, trei ore, zece puncte din oficiu; cum se califică.
  2. Redactarea: pașii care iau puncteBaremul punctează idei intermediare; „arătați că” cere demonstrație, nu verificare; exemplul și demonstrația.
  3. Timpul și ordineaCitirea tuturor problemelor, alegerea ordinii, cât timp pe o problemă blocată, cerințele a).
  4. Greșelile care costă puncteExemplul luat drept demonstrație, cazul uitat, restul mai mare decât împărțitorul, exemplul neconstruit.

Un parcurs pe care îl construim pas cu pas

  • Înțelege

    Explicații și exemple rezolvate pentru ideile cursului.

  • Exersează

    Încearcă singur și cere un indiciu când ai nevoie.

  • Consolidează

    Revino la ce merită exersat și urmărește ce ai înțeles.

Cursuri înrudite