Matematică · Clasa a V-a
Olimpiada de matematică · clasa a V-a
Pregătire pentru Olimpiada Națională de Matematică, clasa a V-a, pe programa SSMR a etapelor locală, județeană și națională: metodele de raționament, exerciții și probleme cu barem, plus strategia de concurs.
Despre acest curs
Idei care capătă sens.
Cele 33 de competențe ale programei ONM pentru clasa a V-a (SSMR, 2025-2026), organizate pe etape: etapa locală (numere naturale, teorema împărțirii cu rest, puteri și ultima cifră, pătrate și cuburi perfecte cu resturile lor, sume, numere scrise cu cifre; metodele aritmetice, tabelele și șirurile, numărarea, redactarea demonstrației), etapa județeană (divizori și multipli, criterii, restul și cifrele, numere prime, descompunerea, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c., aritmetica resturilor, probleme cu redactare) și etapa națională (fracții ordinare și zecimale, unități de măsură, elemente de geometrie). Fiecare competență are o lecție cu ideea, capcanele și un exemplu rezolvat din subiectele 2026, exerciții grilă de antrenament și, la competențele-cheie, probleme cu rezolvare completă, corectate pe barem ca la concurs. Un domeniu aparte e strategia: structura probei, redactarea pe pași, timpul, greșelile care costă puncte.
Programa cursului
Ce învață copilul, lecție cu lecție.
33 de lecții în 5 domenii, aproximativ 5 ore de lucru. Fiecare lecție are explicații, exemple rezolvate și exerciții cu indicii.
1. Etapa locală: numere naturale și puteri9 lecții
- Calcule cu numere naturale și factorul comunCalculele lungi se scurtează prin grupare și factor comun; primul subiect de la locală.
- Teorema împărțirii cu restD = ηC + R, cu R < Î; numere determinate din cât și rest; problema 2 de la județeană 2026.
- Reguli de calcul cu puteriÎnmulțirea, împărțirea, puterea unei puteri, baza comună; scrierea numerelor ca puteri.
- Compararea puterilorAceeași bază, același exponent, exponent comun prin c.m.m.d.c., încadrarea între puteri.
- Ultima cifră a unei puteriPeriodicitatea din 4 în 4, restul exponentului la 4, ultima cifră a sumelor; subiectul 1 de la locală 2026.
- Pătrate perfecte și cuburi perfecteRecunoaștere, încadrare, exponenți pari în descompunere, ultima cifră.
- Resturile pătratelor și ale cuburilorRestul unui pătrat la 3, 4, 5, 8, 10; al unui cub la 9; demonstrația că un număr nu e pătrat perfect.
- Sume: Gauss și sume de puteriSuma primelor n numere, sume de termeni în progresie, sume de puteri prin înmulțire; subiectul 1 de la locală 2026.
- Numere scrise cu cifre și suma cifrelorab = 10a + b, abc = 100a + 10b + c; ecuații cu cifre; s(n) și cum se schimbă la adunare.
2. Etapa locală: metode aritmetice și raționament7 lecții
- Metoda figurativăSegmente pentru sumă și diferență, sumă și raport, părți și rest; problema 1 de la județeană 2026.
- Metoda comparației și mersul inversEliminarea unei necunoscute prin comparare; refacerea drumului de la rezultat la număr.
- Metoda falsei ipotezePresupui că toate obiectele sunt de același fel, calculezi diferența și o corectezi.
- Tabele, pătrate magice și sume pe liniiSuma totală scrisă în două feluri, condiții pe linii și coloane, construirea exemplului; problema 4 de la județeană 2026.
- Șiruri: termenul general și periodicitateaTermenul de pe locul n, locul unui termen, șiruri periodice și sumele lor; subiectul 4 de la locală 2026.
- Numărarea și construirea exemplelorCâte numere au o proprietate, regula produsului, numărul segmentelor; exemplul care dovedește existența; subiectul 2 de la locală 2026.
- Redactarea unei demonstrații„Arătați că”, analiza pe cazuri, reducerea la absurd, contraexemplul, reciproca; ce înseamnă un pas justificat.
3. Etapa județeană: divizibilitate8 lecții
- Divizori, multipli, proprietățiMulțimea divizorilor, numărul lor, d | a și d | b ⟹ d | a ± b, divizori și multipli comuni.
- Criteriile de divizibilitateCu 2, 5, 10, 4, 25, 8, 125, 3, 9 și combinații; cifre necunoscute.
- Restul împărțirii și cifrele număruluiRestul la 3 și 9 din suma cifrelor; la 4 și 25 din ultimele două cifre; la 5 și 10 din ultima.
- Numere prime și compuseRecunoașterea, verificarea până la rădăcina pătrată, perechi de prime, primele în ecuații.
- Descompunerea în factori primi și numărul divizorilorProdus de puteri de prime, numărul divizorilor, divizorii primi, pătrate din descompunere.
- Cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comunCalcul din descompunere, a·b = (a, b)·[a, b], resturi egale, împărțiri exacte.
- Aritmetica resturilorRestul sumei și al produsului din resturile termenilor; puteri modulo un număr.
- Probleme de divizibilitate cu redactareNumere cu proprietăți pe divizori, ecuații cu factori, cazuri; problema 4 de la județeană 2026.
4. Etapa națională: fracții și geometrie5 lecții
- Fracții ordinareAmplificare, simplificare, comparare, operații, fracția dintr-un număr, ireductibile.
- Fracții zecimaleTransformări, periodicitate, operații, a n-a zecimală.
- Probleme cu fracțiiPărți dintr-un întreg, resturi succesive, fracția din fracție, unități de timp.
- Unități de măsură și ariiTransformări, perimetre și arii ale dreptunghiului și pătratului, timp.
- Elemente de geometriePuncte, drepte, segmente, mijloc, unghiuri, numărarea segmentelor și a unghiurilor.
5. Strategia de concurs4 lecții
- Structura probei și punctajulEtapa locală și județeană: patru probleme, trei ore, zece puncte din oficiu; cum se califică.
- Redactarea: pașii care iau puncteBaremul punctează idei intermediare; „arătați că” cere demonstrație, nu verificare; exemplul și demonstrația.
- Timpul și ordineaCitirea tuturor problemelor, alegerea ordinii, cât timp pe o problemă blocată, cerințele a).
- Greșelile care costă puncteExemplul luat drept demonstrație, cazul uitat, restul mai mare decât împărțitorul, exemplul neconstruit.
Un parcurs pe care îl construim pas cu pas
Înțelege
Explicații și exemple rezolvate pentru ideile cursului.
Exersează
Încearcă singur și cere un indiciu când ai nevoie.
Consolidează
Revino la ce merită exersat și urmărește ce ai înțeles.